Nutzenfunktion

formalisierte Darstellung der Präferenzen eines Individuums. Man unterscheidet zwischen direkten und indirekten Nutzenfunktionen, wobei jede dieser Funktionen kardinal oder ordinal interpretiert werden kann. Die kardinale - Nutzentheorie unterstellt, dass die Präferenzen eines Konsumenten durch eine stetige, monoton zunehmende und meistens auch konkave Funktion, die auf der Menge aller physisch für diesen Konsumenten erreichbaren Güterbündel definiert ist, vollständig dargestellt werden können, wobei diese Nutzenfunktion bis auf eine positiv-lineare Transformation bestimmt ist. Können demnach die Präferenzen eines bestimmten Individuums durch die Nutzenfunktion u(x) beschrieben werden, wobei u die Nutzenfunktion und x einen Gütervektor mit N verschiedenen Gütermengen x„ (n = 1,2    N) bezeichnet, so können die Präferenzen desselben Individuums auch durch jede Nutzenfunktion repräsentiert werden. Betrachtet man die so zeigt sich, dass die Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitungen und damit die Steigungs- und Krümmungseigenschaften der Nutzenfunktion durch die positiv-lineare Transformation nicht verändert werden. Daher ergibt beispielsweise das sog. Gesetz des abnehmenden Grenznutzens, das ja mit [a2u/(axn)2] < 0 negative zweite Ableitungen der direkten Nutzenfunktion postuliert, im Rahmen der kardinalen Nutzentheorie durchaus einen Sinn. Auch die Intensität von Nutzenänderungen wird durch positiv-lineare Transformationen der Nutzenfunktion nicht beeinflußt: Bezeichnet man den in einer Ausgangssituation konsumierten Gütervektor mit x0 und zwei alternative neue Gütervektoren mit x1 und x2, so gilt mit dass das Verhältnis der Nutzenänderungen und damit die Intensität, mit der beispielsweise der Übergang von x° zu x2 dem Übergang zu x1 vorgezogen wird, durch die positiv-lineare Transformation der Nutzenfunktion nicht verändert wird. Die ordinale Nutzentheorie hingegen unterstellt nicht, dass die Präferenzen eines Individuums unmittelbar durch eine mathematische Funktion ausgedrückt werden, sondern verlangt von einem rationalen Konsumenten nur, dass er in der Lage ist, für beliebige Paare von Güterbündeln eindeutig anzugeben, welches Güterbündel er dem jeweils anderen vorzieht. Ausgangspunkt der ordinalen Nutzentheorie ist somit eine Präferenzordnung, die seine ersten und zweiten Ableitungen der transformierten Nutzenfunktion u nach den Gütermengen x„ bzw. xi mit und Präferenzen in Form einer vollständigen Quasiordnung beschreibt. Die Präferenzordnung basiert auf der Binärrelation »r « (lies: wird mindestens so geschätzt wie) und kann, sofern sie bestimmte grundlegende Eigenschaften (Vollständigkeit, Reflexivität, Transitivität, Stetigkeit, Monotonie, Konvexität) besitzt, durch ein System konvexer Mengen vollständig repräsentiert werden. Es handelt sich hierbei um die sog. Bessermengen. Die Besser-menge oder Menge aller akzeptablen Alternativen zu einem Güterbündel x° umfaßt alle Güterbündel x, die von dem betrachteten Konsumenten mindestens genauso geschätzt werden wie x°: Eine ordinale Nutzenfunktion u(x) weist nun auf der Grundlage der Präferenzordnung jedem Güterbündel einen Skalar zu, wobei von zwei Güterbündeln demjenigen die größere Zahl zugeordnet wird, das von dem Konsumenten dem anderen Güterbündel vorgezogen wird, d.h.: Bezeichnet man den Wert der Nutzenfunktion für das Güterbündel x° mit U0, so stimmt die Bessermenge für das Güterbündel x° mit der oberen Niveaumenge der Nutzenfunktion u(x) für das Nutzenniveau U0 = u(x°) überein: Die Tatsache, dass alle Informationen über die Präferenzordnung eines Konsumenten in der konkreten Form seiner Bessermengen gespeichert sind, die nun ihrerseits als obere Niveaumengen der direkten Nutzenfunktion interpretiert werden, bedeutet, dass die ordinale Nutzenfunktion nicht unmittelbar, sondern mittelbar über ihre oberen Niveaumengen definiert ist. Falls die Präferenzordnung die oben genannten Eigenschaften besitzt, ist die direkte Nutzenfvnktion stetig, monoton und quasikonkav in den Gütermengen. Eine Folge der mittelbaren Definition der ordinalen Nutzen- Funktion ist, dass sie nicht eindeutig bestimmt ist, da mit einem bestimmten oberen Niveaumengensystem eine ganze Klasse von Funktionen vereinbar ist, wobei die einzelnen Funktionen dieser Klasse jeweils durch stetige, streng monoton zunehmende Transformationen miteinander verbunden sind. Kann also die Präferenzordnung eines Konsumenten durch die Nutzenfunktion u(x) dargestellt werden, so kann sie in äquivalenter Weise durch jede Funktion beschrieben werden, wobei T(u) eine stetige, streng monoton zunehmende Funktion von u ist. Unterstellt man, dass sowohl die Nutzenfunktion u als auch die Transformation T(u) zweimal stetig differenzierbar sind, so erhält man die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der transformierten Nutzenfunktion ü(x) nach beliebigen Gütermengen xo und xi (n ,j = 1,2,...,N) als wobei T\'(u) die erste und T"(u) die zweite Ableitung von T nach u ist. Wegen der strengen Monotonie der Transformation mit T\'(u) > 0 wird das Vorzeichen der ersten partiellen Ableitung der Nutzenfunktion (und damit die durch die Präferenzordnung bestimmte Ordnung der Güterbündel unter dem Nutzenaspekt) durch die monotone Transformation nicht verändert: Die Transformation T ist ordnungserhaltend. Demgegenüber bleibt das Vorzeichen der zweiten partiellen Ableitungen bei nichtlinearen Transformationen mit T"(u) # 0 nicht zwangsläufig erhalten. Deshalb ist beispielsweise die Annahme der Konkavität einer direkten Nutzenfunktion ein rein kardinales Konzept, das im Rahmen der ordinalen Nutzentheorie ebensowenig Sinn ergibt, wie das mit dieser Eigenschaft verbundene 1. GOSSENsche Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen (GOSSENsche Gesetze). Maximiert man die direkte Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung eines beschränkten Budgets, so erhält man die indirekte Nutzenfunktion des Konsumenten mit wobei p der N-dimensionale Preisvektor und I das Pauscheinkommen des Konsumenten ist. Die indirekte Nutzenfunktion gibt an, welches Nutzenniveau der Konsument bei Gültigkeit der Preise p und des Pauscheinkommens I maximal realisieren kann. Daraus ergibt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen den Konzepten der direkten und der indirekten Nutzenfunktion: Während die direkte Nutzenfunktion ein einfacher Nutzenindex ist, der jedem Güterbündel eine bestimmte Zahl zuweist, setzt das Konzept der indirekten Nutzenfunktion Optimalverhalten des Konsumenten im Sinne der Nutzenmaximierung voraus. Aus ihrer Definition folgt, dass auch die indirekte Nutzenfunktion nur bis auf eine stetige, streng monoton zunehmende Transformation bestimmt ist. Unter den oben aufgeführten Annahmen bezüglich der Präferenzordnung des Konsumenten ist die indirekte Nutzenfunktion stetig und monoton zunehmend im Einkommen und stetig, monoton abnehmend, quasi-konvex und homogen vom Grade Null in den Preisen. Literatur: Jehle, G.A. (1991). Silberberg, E. (1990). Varian, H.R. (1992)