Regressionsanalyse

Methode der - Ökonometrie, die den Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variablen Y und einer unabhängigen Variablen X (Einfachregression) bzw. mehreren unabhängigen Variablen X1...Xk (multiple Regression) erfaßt. Im Zwei-Variablen-Fall spricht man von einer Regression 1. Art (empirische Regressionsbeziehung), wenn die Verbindungslinie von vorgegebenen X-Werten und den sich aufgrund vorliegender Beobachtungen ergebenden dazugehörigen mittleren Y-Werten gebildet wird. Eine Regression 2. Art liegt vor, wenn davon ausgegangen wird, dass Y im Mittel exakt linear abhängig ist von X, d.h., dass der bedingte Erwartungswert von Y bestimmt ist durch: E(YIX) = a + bX. Die Differenzen zwischen Beobachtungswerten von Y und E(YIX) werden als Zufallsgröße U aufgefaßt (Störgröße, latente Variable), über die im klassischen Regressionsmodell besondere Annahmen getroffen werden: a) Der Erwartungswert von U ist Null; b) die Störgrößen sind unabhängig voneinander; c) die Varianz der Störgrößen ist konstant; d) die Störgrößen sind normalverteilt. Die Störgröße umfaßt inhaltlich alle weiteren Variablen außer X, die Y beeinflussen. Hinzuzurechnen sind auch mögliche Beobachtungsfehler, Meßfehler bei X und Y. Das Anliegen der Regressionsanalyse ist es, numerisch den linearen Zusammenhang zwischen E(YIX) und X zu ermitteln, um dann bei Kenntnis der Entwicklung von X auf die durchschnittliche Entwicklung von Y schließen zu können. Die Schätzung der Regressionskoeffizienten a und b (ä, b ) erfolgt aufgrund eines vorgegebenen Beobachtungsbefundes. Als übliches Verfahren zur Bestimmung von ä und b wird die Methode der kleinsten Quadrate angewandt. Danach wird die Gerade als geschätzte Regressionsgerade ausgewählt, die die Summe der quadrierten Abstände zwischen den beobachteten Y-Werten (Y1) und den Y-Werten auf der Regressionsgeraden bei gleichen X-Werten (17; = ä + b X;) minimiert. Unabhängig davon, welche Variablen für X und Y inhaltlich gewählt werden und welche Beobachtungen vorliegen, läßt sich nach diesem Verfahren rein mechanisch immer eine Regressionsgerade schätzen, die (Y;- Y; )2 minimiert. Damit ist klar, dass aufgrund einer geschätzten Regressionsgeraden einerseits nichts über die statistische Güte des geschätzten Zusammenhangs von X und Y und andererseits nichts über die Art der Kausalität ausgesagt wird. Die statistische Güte der Schätzungen läßt sich über den Korrelationskoeffizienten und die Verläßlichkeit der Schätzungen läßt sich mit Hilfe von Konfidenzintervallen für a und b bzw. mit einer Konfidenzellipse für beide Parameter gleichzeitig angeben. Überdeckt z.B. das Konfidenzintervall für b den Wert Null, so läßt sich die Gültigkeit der Hypothese einer linearen Unabhängigkeit zwischen Y und X nicht ausschließen. Selbst wenn bei einer sehr geringen Irrtumswahrscheinlichkeit die These der linearen Unabhängigkeit verworfen werden kann, sagt dies noch nichts über die Art der Kausalität aus. Hierüber kann die Statistik selbst keine Aussage treffen, sondern es ist inhaltlich zu begründen, ob X die Größe Y bestimmt oder umgekehrt bzw. ob der Zusammenhang über Drittvariable existiert. Erweiterungen des einfachen linearen Regressionsmodells sind dahingehend möglich, dass nichtlineare Zusammenhänge bezüglich der Koeffizienten zugrunde gelegt werden. Hierfür lassen sich in bestimmten Fällen Linearisierungen durchführen. Außerdem läßt sich die Zahl der unabhängigen Variablen erweitern (multiple lineare Regression). Regressionsanalysen werden in der Zwischenzeit in nahezu allen Bereichen der Ökonomie angewandt. Klassische Beispiele bilden Schätzungen von Konsum-, Produktions- und - Nachfragefunktionen. Probleme ergeben sich v.a. dadurch, dass bei realen Zusammenhängen die klassischen Regressionsbedingungen verletzt sind. Dadurch erhält man Schätzungen, die nicht die gewünschten Eigenschaften besitzen. Durch Modifikationen bei den Schätzverfahren und Transformation der Variablen lassen sich einige der Probleme beseitigen. Literatur: Schneeweiß, H. (1990). Kmenta, J. (1986). Hujer, R., Cremer, R. (1978)