Normalverteilung

Mathematische Formulierung einer theoretischen Häufigkeitsverteilung in der Statistik. Bei graphischer Darstellung der Normalverteilung ergibt sich eine symmetrische Glockenform, in deren Maximum arithmetisches Mittel, häufigster Wert (Modus) und mittlerer Wert (Median) zusammenfallen. In der Portefeuilletheorie und in der Kapitalmarkttheorie wird für die Häufigkeitsverteilung der Streuung um die Erwartungswerte der Erträge aus den einzelnen Wertpapieren Normalverteilung unterstellt. (Gaußsche Normalvertei­lung, Gaußsche Glockenkurve): Eine der wich­tigsten theoretischen Verteilungen der analyti­schen Statistik. Es handelt sich um eine stetige, symmetrische, eingipflige Verteilung, die sich asymptotisch der x-Achse nähert. Ihre Bedeutung leitet sich über den           zentralen Grenzwertsatz daraus her, dass sie für viele andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen, und insbesondere für Stichprobenverteilungen eine Grenzvertei­lung darstellt, der sich diese Verteilungen asym­ptotisch nähern. Sie hat die Dichtefunktion
Die Verteilung ist durch ihre Parameter g (Mittel­wert) und a (Standardabweichung) genau be­stimmt. Arithmetisches Mittel, Median und häufigster Wert (Modus) fallen zusammen. Ih­re Wendepunkte sind durch µ + a gegeben. Die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zu­fallsvariablen x hat die Form
 Um die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes In­tervall zu berechnen, kann man jede Normalver­teilung so transformieren, dass sie das betreffen­de g und a hat. Dafür bietet sich die Standardnor­malverteilung an, d.h. die Verteilung, bei der g = 0 und a =1 ist, an. Die Standardisierung erfolgt mit Hilfe der sog. z-Transformation
Durch Rücktransformation lassen sich dann die Werte für jede beliebige Normalverteilung be­rechnen. Die graphische Darstellung der Normal­verteilung ist die Gaußsche Glockenkurve: In der Normalverteilung ist die als der Abstand zwischen den Wendepunkten definierte Stan­dardabweichung o die Größe, der eine Normal­kurve ihre konkrete Gestalt verdankt. Das Grund­prinzip der Berechnung von - Vertrauensberei­chen bzw. Fehlerspannen besteht darin, dass die beiden durch die Wendepunkte der Normalkurve abgegrenzten Flächen mit 68,26 % ungefähr zwei Drittel der Gesamtfläche unterhalb der Nor­malkurve ausmachen. Für die Stichproben­theorie bedeutet das, dass rund zwei Drittel aller Stichproben, die sich aus einer Grundgesamt­heit bilden lassen, einen Anteil von Merkmalen haben, der innerhalb des durch die doppelte Standardabweichung gegebenen Vertrauensbe­reichs liegt und mithin nicht mehr als ±10 vom wahren Wert der Grundgesamtheit liegen kann. Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlich­keit, dass ein konkreter Wert einer konkreten Stichprobe einen maximal um ±10 vom wahren Wert abweichenden Wert liefert, ist gleich 0,6826. Die Graphik zeigt, dass die Fläche unter­halb der Normalkurve auf 95,45 bzw. 99,73 % anwächst, wenn der Vertrauensbereich entspre­chend ausgedehnt wird. Die Unterschiede zwi­schen den verschiedenen Fehleraussagen wer­den meist dadurch charakterisiert, dass man bei Wahrscheinlichkeitsaussagen auf Stichproben-basis mit einem Signifikanzniveau von 16 (ei­nem Sicherheitsfaktor von z = 1) oder einem Si­cherheitsgrad von 68,26 %) bzw. einer Irrtums­wahrscheinlichkeit von 31.74 % operiert. Die folgende Übersicht zeigt die Zusammenhän­ge mit auf eine Stelle nach dem Komma gerun­deten Zahlen:

Das Prinzip der Normalverteilung wurde im An­satz von dem Franzosen Abraham de Moivre, ei­nem nach England emigrierten Hugenotten, 1756 erkannt und von Carl Friedrich Gauss zur mathe­matischen Vollendung geführt.